Fdzfgy

Irrasjonelle tal er reelle tal som ikkje kan skrivast på brøkform som mn{displaystyle {frac {m}{n}}}, der m er eit heiltal og n eit naturleg tal. Døme er 2{displaystyle {sqrt {2}}} og π{displaystyle pi }. Mengda av irrasjonelle tal vert stundom på symbolform uttrykt som R−Q{displaystyle mathbb {R} -mathbb {Q} }, men formar ikkje ein vanleg algebraisk struktur. Dei rasjonelle tala er ei tett, utellbar og ikkje-samanhengande delmengd av dei reelle tala.

Eigenskapar |

Det finst irrasjonelle tal |

Dersom N ikkje er eit kvadrattal, så er N{displaystyle {sqrt {N}}} eit irrasjonelt tal. Spesielt er 2{displaystyle {sqrt {2}}} irrasjonelt. Eit geometrisk argument for dette vart funne for 2500 år sidan av pytagorearen Hippasus av Metapontum (eller, det er i alle fall han som har vorte tilegna funnet). Eit meir moderne prov er ved motsegn: Anta at √2 = m/n, der m og n er naturlege tal (me veit at √2 er positiv) og m + n minst mogleg. Då er også 2=2n−mm−n=2n−2n2n−n=2−22−1{displaystyle {sqrt {2}}={frac {2n-m}{m-n}}={frac {2n-{sqrt {2}}n}{2n-n}}={frac {2-{sqrt {2}}}{{sqrt {2}}-1}}}, men 2n−m+m−n=n<m+n{displaystyle 2n-m+m-n=n<m+n}.

Anta at det finst naturlege tal m og n slik at 2=m/n{displaystyle {sqrt {2}}=m/n}. Me vel m og n slik at n er minst mogleg. Då må 2n2=m2{displaystyle 2n^{2}=m^{2}}, så 2 må dela m2{displaystyle m^{2}}. Då må 2 også dela m, så 4 deler m2{displaystyle m^{2}} og dermed også 2n2{displaystyle 2n^{2}}. Det fylgjer at 2 også deler n2{displaystyle n^{2}} og dermed også n, så både m og n er partal. Dette vil seia at me også har 2=(m/2)/(n/2){displaystyle {sqrt {2}}=(m/2)/(n/2)} med naturlege tal m/2 og n/2. Dette er eit motsegn, sidan her er teljaren endå mindre enn i brøken me starta med.

Eit anna irrasjonelt tal er log2{displaystyle log2}. Me har igjen eit motseiingsprov:

Anta at et finst naturlege tal m og n slik at log⁡2=m/n{displaystyle log {2}=m/n}. Me vel m og n slik at n er minst mogleg. Då må 10m/n=2{displaystyle 10^{m/n}=2}, så 2m⋅5m=2n{displaystyle 2^{m}cdot 5^{m}=2^{n}}. Sidan 2 er eit primtal, så må då m = 0 og dermed log 2 = 0, noko som ikkje er tilfelle.

Det skal seiast at begge desse prova fyrst vert fullstendige når me har vist at dei gjevne tala faktisk eksisterer. For kvadratrota av 2 finst eit enkelt, geometrisk argument: Hypotenusen x til ein rettvinkla trekant med katetar 1 og 1 tilfredsstiller 2 = x². Sidan hypotenusen eksisterer, så eksisterer dermed også ei kvadratrot til 2. Eit argument som byggjer direkte på komplettleiksprinsippet finst også: Studerer me mengda A = {x : x ² < 2}, x reelle tal, så må denne ha ei minste øvre grense sup A. Det er mogleg å visa at sup A korkje er med i A eller A = {x : x ² > 2 og x > 0}, så difor må (sup A)^2 = 2. (Dersom sup A er med i A, så finst det eit tal høgare enn sup A som også er med i A', og dersom sup A er med i A', så finst det eit tal lågare enn sup A som også er med i A'. Dette strid mot at sup A er den minste øvre grensa til A.)

Dei irrasjonelle tala dannar inga vanleg algebraisk struktur |

Dei irrasjonelle tala er korkje lukka under addisjon eller multiplikasjon:

• 
  (2+2)+(2−2)=4{displaystyle (2+{sqrt {2}})+(2-{sqrt {2}})=4} er ikkje eit irrasjonelt tal, sjølv om begge addendane er det.


• 
  (2+2)⋅(2−2)=2{displaystyle (2+{sqrt {2}})cdot (2-{sqrt {2}})=2} er ikkje eit irrasjonelt tal, sjølv om begge faktorane er det.

I tillegg kan me observera at det heller ikkje er tilfelle at dersom a og b er irrasjonelle, så er nødvendigvis ab{displaystyle a^{b}} irrasjonell. Me ser på 22{displaystyle {sqrt {2}}^{sqrt {2}}}:

• Dersom 22{displaystyle {sqrt {2}}^{sqrt {2}}} er rasjonell, så er resultatet vist umiddelbart.


• Dersom 22{displaystyle {sqrt {2}}^{sqrt {2}}} er irrasjonell, så er (22)2=2{displaystyle ({sqrt {2}}^{sqrt {2}})^{sqrt {2}}=2} det ettersøkte moteksemplet.

Dei irrasjonelle tala har inga periodisk desimalutvikling |

I motsetnad til rasjonelle tal har ikkje irrasjonelle tal ei periodisk desimalutvikling. Beviset går ut på å gå ut frå at ei slik desimalutvikling finst og visa at då må talet vera rasjonelt.

Sjå også |

• Inkommensurabilitet