Fdzfgy

Sampling, tasting, eller punktprøving, er ein operasjon der ein måler amplituden til eit analogt seignal ved (vanlegvis) faste tidspunkt. Sampling diskretiserer tidsaksen, slik at ein endar opp med ein sekvens av analoge måleverdiar. Med analoge måleverdiane meiner ein at amplituden ikkje er diskretisert. I praksis vil amplituden som oftast verta diskretisert (kvantisert) av ein etterfylgjande AD-omformar.

Grunngjeving for å sampla |

Fig. 1 Blokkdiagrm for digital signalhandsaming.

Når eit tidskontinuerleg signal skal handsamast eller lagrast på digital form må det først konverterast til ein sekvens av binære ord. Fig. 1 syner korleis eit system for sanntids digital signalhandsaming er bygd opp. Den grøne blokka til venstre konverterer eit analogt signal u(t) til ein sekvens av binære ord u(n). Den gule blokka i midten utfører ein eller annan form for filtreting, eller annan operasjon, av sekvensen u(n). Resultatet av denne prosesseringa er den binære sekvensen y(n), som vert konvertert til eit tidskontibuerleg analogt signal av den blå blokka til høgre i Fig. 1. Dette vert kalla rekonstruksjon. Om målet er å analysera signalt u(t) trengst ikkje rekonstruksjonsblokka til høgre i Fig. 1.

Kvantisering i tids og amplitude |

Fig. 2 To alternativ for kvantisering av amplitide- og tidsaksane.

Det analoge signalet u(t) er kontinuerleg både i tid og amplitude. At signalet er tids-kontinuerleg tyder at verdien u(t) er definert for alle tidsverdiar t. At signalet er analogt tyder at at alle verdiar, innan gitte minimum- og maksimumverdiar, er definerte, slik at signalet har ein kontinerleg varierande amplitude. Når eit slikt analogt signal skal konverterast til ein sekvens av binære ord må det kvantiserast både i tid og amplitude. Det er vanleg å kalla kvantiseringa langs tidsaksen for sampling, tasting, eller punktprøving. Ein tek med andre ord prøvar av amplituden med faste tidsinterval, kalla sampelinterval T. Denne operasjonen vert utført av blokka merka Sampler i Fig. 1. Kvantiseringa av amplituden vert tradisjonelt kalla kvantisering. På det viset held ein kvantisering av tid og amplitde frå kvarandre.

I prinsippet spelar det ingen rolle om ein samplar (kvantiserer tidsaksen) først, eller om ein kvantiserer amplitudeaksen fyrst, Fig. 2. Men på grunn av at AD-omformaren treng litt tid til å konvertera frå det analoge signalet på inngangen til eit binært ord vert samplinga utført fyrst, slik som i Fig. 1. Spenninga på inngangen av AD-omformaren vert heldt konstant medan konverteringa foregår. I praksis skjer dette ved at inngangsspenninga vert lagra i ein kondensator. Kombinasjonen av brytaren i sampleren og haldeelementet (kondensatoren) vert kalla ein sample og hald-krins, ofte forkorta til S/H-krins.

Modellering av sampling i tidsplanet |

Fig. 3 Sampelkrins.
a) Brytarmodell
b) PAM-modell.

Fig. 4 Sampling sett i tidsplanet.
a) Analogt inngangssignal u(t)
b) Sampelsekvens s(t)
c) Sampla sekvens u(n)

Punktprøvinga kan modellerast som ein brytar, som vert opna og stengt av impulssekvens s(t), som illustrert i Fig. 3 a). Men krinsen kan òg modellerast som multiplkasjon mellom ngangssignalet u(t) og impulssekvensen s(t), ofte kalla sampelfunksjonen, som vist i Fig. 3 b). Sampelsekvensen kan uttrykkast

∑n=−∞∞δ(t−nT){displaystyle sum _{n=-infty }^{infty }delta (t-nT)}

der T er sampelintervalet. Denne impulssekvensen er illustrert i Fig. 4 b), der T sampelinter
valet. Operasjonen i Fig. 3 b) er Puls Amplitude Modulasjon (PAM).
I tidsplanet kan vi uttrykke det sampla signalet us(t) som:

us(t)=u(t)s(t){displaystyle u_{s}(t)=u(t)s(t)}.

Denne multiplikasjonen, eller PAM-modulasjonen, fører til at det tidskontinuerlege analoge inngangssignalet u(t), Fig 3 a), vert sampla (spenninga vert målt) ved sampelpunkta

t=nT{displaystyle t=nT}, for n = ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...

Denne diskretiseringa kan modellerast som

u(n)=limϵ→0∫t=nT−ϵnT+ϵu(t)s(t)dt{displaystyle u(n)=lim _{epsilon to 0}int _{t=nT-epsilon }^{nT+epsilon }u(t)s(t)dt}.

Ein står da att med den tidsdiskrete sekvensen i Fig. 3 c), som er definert berre ved sampelpunkta t = nT.

Etter som sampelintervalet T er konstant kan ein forenkla notasjonen og skriva berre n i staden for nT og u(n) i staden for u(nT).

Modellering av sampling i frekvensplanet |

Fig. 5 Amplitude spektret til eit sampla signal.
a) U(ω){displaystyle U(omega )}
b) S(ω){displaystyle S(omega )}
c) Us(ω){displaystyle U_{s}(omega )} når ωM<2ωa{displaystyle omega _{M}<2omega _{a}}
d) Us(ω){displaystyle U_{s}(omega )} når ωM>2ωa{displaystyle omega _{M}>2omega _{a}}.

For å få betre innsikt i samplingprosessen er det maudsynt å studera han i frekvensplanet. Ein finn frekvensresponsen til u(t) ved å Fourier-transformera u(t). Ettersom u(t)
er eit tidskontinuerleg signal må vi nytta ein kontinuerleg Fouriertransform:

U(ω)=∫−∞∞u(t)e−jωtdt{displaystyle U(omega )=int _{-infty }^{infty }u(t)e^{-jomega t}dt}.

Fouriertransformasjon av impulssekvensen s(t) resulterer i

S(ω)=∫−∞∞s(t)e−jωtdt=∫−∞∞∑n=−∞∞δ(t−nT)e−jωtdt{displaystyle S(omega )=int _{-infty }^{infty }s(t)e^{-jomega t}dt=int _{-infty }^{infty }sum _{n=-infty }^{infty }delta (t-nT)e^{-jomega t}dt}.

=2πT∑n=−∞∞δ(ω−2πkT){displaystyle ={frac {2pi }{T}}sum _{n=-infty }^{infty }delta (omega -{frac {2pi k}{T}})},

som syner at ein impulssekvens i tidsplanet resulterer i ein impulssekvens i frekvensplanet.

Etter som multiplikasjon i tidsplanet svarar til foldning i frekvensplanet (multiplisert med 1/(2π){displaystyle 1/(2pi )}) kan frekvensresponssen til u(t) uttrykkast som

Us(ω)=12πU(ω)∗S(ω)=12πU(ω)∗2πT∑n=−∞∞δ(ω−2πkT){displaystyle U_{s}(omega )={frac {1}{2pi }}U(omega )*S(omega )={frac {1}{2pi }}U(omega )*{frac {2pi }{T}}sum _{n=-infty }^{infty }delta (omega -{frac {2pi k}{T}})}

=1T∑k=−∞∞U(ω−kωs){displaystyle ={frac {1}{T}}sum _{k=-infty }^{infty }U(omega -komega _{s})},

der * er foldningsoperatoren. Dette syner at sampling resulterer i at spektret til det sampla signalet vert periodiskt
repetert; dvs. spektret til det opphavlege signalet U(k), Fig. 5 a), vert repetert
for kvar harmoniske av sampelfrekvensen, Fig. 5 c).

Sampelteoremet |

I Fig. 5 c) og 5 d) er ωM=2πfM{displaystyle omega _{M}=2pi f_{M}} frekvenskomponenten med høgaste frekvens i inngangssignalet u(t). I Fig. 5 c) er ωM<ωs/2{displaystyle omega _{M}<omega _{s}/2} og det er ikkje overlapp mellom dei periodisk repeterte spektra U(ω−kωs){displaystyle U(omega -komega _{s})}. I Fig. 5 d), derimot, er ωM>ωs/2{displaystyle omega _{M}>omega _{s}/2}, noko som medfører at det vert overlapp mellom dei periodisk repeterte spektra U(ω−kωs){displaystyle U(omega -komega _{s})}. Dette fenomenet vert kalla frekvensaliasing (eller berre aliasing). Aliasing fører til at dei periodisk repeterte spektra vert overlagra kvarandre, noko som betyr at det ikkje lengre vert mogleg å attskapa det opphavlege signalet u(t). Det opphavlege signalet kan berre attskapast når dei periodisk repeterte spektra ikkje overlappar kvarandre, noko som krev at ωM<2πfM{displaystyle omega _{M}<2pi f_{M}}.

Dette er Nyquist–Kotelnikov-Shannon sitt sampelteorem:

Eit tidskontinuerleg signal u(t) som berre inneheld frekvenskomponentar under fs/2{displaystyle f_{s}/2} kan rekonstruerast eksakt frå den sampla sekvensen u(n) = u(nT).

Sampelteoremet seier berre at signalet kan gjenskapast, det seier ingen ting
om korleis rekonstruksjonen skal utførast. For ei gitt bandbreidd fM{displaystyle f_{M}} på signalet u(t) krev sampelteoremet at sampelfrekvensen fs>2fM{displaystyle f_{s}>2f_{M}}. For å unngå aliasing er det, for en gitt sampelfrekvens fs{displaystyle f_{s}}, nødvendig å begrensa bandbredda til signalet u(t) før det vert sampla. Dette gjer ein ved å plassera eit lågpassfilter før sample og hald-krinsen, som illustrert i Fig. 1. På grunn av at dette filtret har som oppgåve å forhindra aliasing, vert det kalla eit antialiasingfilter.

Sampelteoremet vert ofte kalla Nyquist sitt sampelteorem, etter Harry Nyquist, som publiserte det i 1924 ^[1]. Vladimir Kotelnikov publiserte likande resultat i 1933 ^[2] og Claude Shannon i 1949 ^[3].

Etter som altialiasingfiltret må vera eit analogt filter har det ulineær faserespons. I somme samanhengar kan den ulineære fasen vera problematisk, men han kan alltids rettast opp med ein faseequialiser realisert på diskret form (som eit digitalt filter) i den etterfyljande prosesseringa.

Kjelder |

Sjå òg |

• Musikksampling